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| 本文作者： 大牛講堂 | 2016-11-16 15:41 |
雷鋒網(wǎng)按：作者羅恒，地平線機(jī)器人技術(shù)資深算法研究員。2011年博士畢業(yè)于上海交通大學(xué)，后隨Yoshua Bengio從事博士后研究，2014年加入百度深度學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)室，參與深度學(xué)習(xí)在搜索中應(yīng)用、PaddlePaddle研發(fā)等工作。2016年加入地平線機(jī)器人公司，負(fù)責(zé)深度學(xué)習(xí)模型壓縮與加速。
訓(xùn)練更深的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近年來一直是深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域的重要趨勢(shì)之一，2015年初Google提出的Batch Normalization 算法使得深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練更加穩(wěn)定，加快了收斂的速度，甚至同時(shí)起到了正則化的作用。本期羅老師將為大家分析Batch Normalization背后的動(dòng)機(jī)和原理，以及后續(xù)的發(fā)展。
1．引言
現(xiàn)在正是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第三次研究的熱潮，與之前兩次不同，這次神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（深度學(xué)習(xí)）在很多實(shí)際問題上取得了巨大的成功，吸引了越來越多的人投身其中。剛開始接觸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同學(xué)們，往往發(fā)現(xiàn)無從下手，有很多理論的文章，但是似乎對(duì)實(shí)際用處不大。談?wù)撟疃嗟耐歉鞣N各樣的tricks。
Batch Normalization [1] 是近年來最火爆的tricks之一，幾乎成了前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的標(biāo)配。在我看來，BN主要做的比較好的是在恰當(dāng)?shù)牡胤阶鰳?biāo)準(zhǔn)化（Normalization），在矩陣乘之后，在激活之前；BN的參數(shù)
和
使得輸出仍舊保持一定的靈活性；為什么這兩方面比較重要下面我會(huì)做些分析。最后我會(huì)簡(jiǎn)單討論一些把BN應(yīng)用到RNN的工作。
2. 升降桌和中心極限定理
在開始之前先來個(gè)廣告，地平線機(jī)器人最近搬家了，我發(fā)現(xiàn)所有的桌子都換成了電動(dòng)升降桌，如下圖
前面的數(shù)字是桌面的高度，精確到毫米，那兩個(gè)三角可以調(diào)節(jié)升還是降，但是經(jīng)常調(diào)完了之后出現(xiàn)“78.3”、“77.9”之類的數(shù)字，而我更喜歡整數(shù)“78”，我最常用的策略就是當(dāng)接近78的時(shí)候，交替地（為了對(duì)符號(hào)均勻采樣）快速地按（力爭(zhēng)每次按擊獨(dú)立）上升、下降，很快數(shù)字就會(huì)停到了78。這是因?yàn)榘凑罩行臉O限定理，我壓了一堆均值接近0的隨機(jī)數(shù)（+0.1, -0.2, +0.3之類的），那么這些隨機(jī)數(shù)的累加和（桌子的最終高度）會(huì)服從正態(tài)分布，我會(huì)很大概率見到0，也就是整數(shù)的高度。這里也就引出了今天介紹Batch Normalization的一個(gè)角度，一些隨機(jī)數(shù)的累加和很可能服從正態(tài)分布（Normal distribution），中心極限定理。
3. 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練困難的一個(gè)例子
廣告結(jié)束，言歸正傳。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很多年了，一個(gè)很大的困難在于比較難訓(xùn)練。比較難訓(xùn)練的一個(gè)可能原因在于，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)高度冗余，同一個(gè)函數(shù)
我們可以找到很多很多參數(shù)不同的網(wǎng)絡(luò)來確切的等價(jià)于這個(gè)函數(shù)，而這些不同參數(shù)的網(wǎng)絡(luò)有的優(yōu)化起來很容易，有的則非常困難。比如這樣一個(gè)函數(shù)，
（這是個(gè)線性函數(shù)，里面沒有非線性變換，主要是為了簡(jiǎn)單。不過當(dāng)我們用ReLU作為激活函數(shù)，當(dāng)都是正的，當(dāng)輸入也是正的，下面的分析也都可以保持正確），我們發(fā)現(xiàn)，
和
表達(dá)的函數(shù)完全一樣，但是當(dāng)我們做sgd的時(shí)候后者的優(yōu)化會(huì)變得十分困難。假如些X=1，損失函數(shù)傳來的梯度是
（損失函數(shù)希望網(wǎng)絡(luò)能輸出個(gè)小的y），對(duì)于第二組參數(shù)代表的網(wǎng)絡(luò)求得的梯度為
，如果拿這個(gè)去更新第二組參數(shù)，那么數(shù)值小的參數(shù)改變巨大，大的參數(shù)則幾乎不變，訓(xùn)練過程將會(huì)變得非常不穩(wěn)定。
4. BN的動(dòng)機(jī)和成功的原因
訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通常是用反向傳播算法（BP）+隨機(jī)梯度下降（SGD），具體到一個(gè)具體的第L層連接神經(jīng)元i和神經(jīng)元j的參數(shù)
的更新就是
，通常我們會(huì)希望這個(gè)更新比較穩(wěn)定。因此，首先有很多的工作在于選擇自適應(yīng)的學(xué)習(xí)率
，對(duì)于上面的例子如果我們能夠找到非常適合的各個(gè)參數(shù)大小不同的學(xué)習(xí)率，訓(xùn)練過程依舊可以變得很穩(wěn)定；其次，也有些tricks可以看做穩(wěn)定從網(wǎng)絡(luò)上層回傳的錯(cuò)誤
，比如隨機(jī)shuffle訓(xùn)練數(shù)據(jù)，當(dāng)樣本不均衡時(shí)做些采樣；第三類工作則是穩(wěn)定
（其中
，
是某個(gè)非線性函數(shù)）。之前有過工作直接對(duì)
來標(biāo)準(zhǔn)化，效果有限。BN的結(jié)果之所以更好，可能作對(duì)了兩個(gè)地方，第一，正像我們之前講的，一堆隨機(jī)數(shù)的和（
）更接近一個(gè)正態(tài)分布，在這個(gè)和上來做標(biāo)準(zhǔn)化更加容易使得
通過非線性
之后依然保持穩(wěn)定，對(duì)于使用sigmoid非線性的時(shí)候，
對(duì)于一個(gè)mini batch而言大概接近68%的值在[0.27 0.73]之間，95%的值在[0.12 0.88]之間，這當(dāng)然很好，基本都在sigmoid函數(shù)的線性部分，不會(huì)出現(xiàn)飽和的情況（這里的梯度不會(huì)接近0），這樣的好處就是訓(xùn)練在一開始可以變得很快，如下圖。但是問題在于假如
真的始終是接正態(tài)分布，那么這些神經(jīng)元就很難達(dá)到它的飽和區(qū)域。
BN的作者引入的
可能是為了解決這個(gè)問題，但是我覺得可能很難，從
的梯度
可以看出，這個(gè)梯度可能會(huì)在一個(gè)mini batch內(nèi)相互抵消，從而變得很?。ㄓ信d趣的同學(xué)可以做實(shí)驗(yàn)看看是不是會(huì)比較小）。當(dāng)然也可能通過在開始初始化的時(shí)候把直接設(shè)成比較適合的值，不過這就是另一個(gè)問題了。從上圖也可以看出，似乎模型的在MNIST上也是underfitting，是否是上面說的原因呢？
不過BN的設(shè)計(jì)的背景本身就是為了很深的網(wǎng)絡(luò)+ReLU這類激活函數(shù)。換句話說是如何使得深層ReLU網(wǎng)絡(luò)在較大學(xué)習(xí)率的情況下訓(xùn)練保持穩(wěn)定。那么我們?cè)赗eLU的情況下繼續(xù)討論，假設(shè)
來自正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)化之后（0均值1方差），那么總會(huì)有一半左右的數(shù)據(jù)通過ReLU之后為0，也就是說當(dāng)前這個(gè)神經(jīng)元對(duì)于后續(xù)的計(jì)算不在起作用了（但是還是會(huì)有關(guān)于這些樣本的梯度傳回）。BN的作者引入的
可能是為了解決這個(gè)問題，從
的梯度
可以看出，如果有更多的錯(cuò)誤傳來，
則會(huì)變小，從而允許更多的樣本向上傳遞非零的信號(hào)。在訓(xùn)練過程中把神經(jīng)元的平均的非零可視化出來可能也會(huì)比較有意思。從這里的分析，也可以看出來，BN網(wǎng)絡(luò)相對(duì)而言更加需要全局的徹底的隨機(jī)shuffle，如果沒有徹底的shuffle，幾條樣本總是出現(xiàn)在同一個(gè)mini batch中，那么很可能有些樣本對(duì)于在經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化之后，在很多神經(jīng)元的輸出總是零，從而難以將信號(hào)傳遞到頂層。這可能就是為什么[1]提到增加了shuffle之后，結(jié)果在驗(yàn)證集上有所變好。同時(shí)這也可能為什么當(dāng)使用了BN+隨機(jī)shuffle之后dropout的作用在下降的一個(gè)原因，因?yàn)閿?shù)據(jù)隨機(jī)的組合，利用mini batch統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化之后，對(duì)于特定樣本的特定神經(jīng)元可能隨機(jī)地為0，那么和dropout的機(jī)制有類似的地方。但是如果使用很大的mini batch又會(huì)如何呢？
除了上面提到的在適合的地方做標(biāo)準(zhǔn)化、使用
和
保持靈活性之外，BN把均值和方差的計(jì)算也看作整個(gè)運(yùn)算的一部分（參與梯度的計(jì)算），從而避免了反向過程中梯度試圖改變均值和方差，然而前向過程的BN層又會(huì)取消梯度的這些企圖。
BN取得了很大的成功，同時(shí)也暗示了后來的研究方向：首先，梯度消失和爆炸在RNN中更為常見，如何應(yīng)用BN到RNN；其次，如何克服BN對(duì)mini batch的大小敏感；第三如何統(tǒng)一訓(xùn)練和測(cè)試過程等等。
5. 應(yīng)用BN到RNN的一些工作
BN之后，很快就開始有一些工作嘗試在RNN中加入BN。首先我們來看RNN，
，其中的激活函數(shù)常用的tanh。在[2]中先嘗試了直接加入BN，
，結(jié)果不好，即使是在訓(xùn)練集也會(huì)略差（直接加入BN后模型的優(yōu)化、擬合都出了問題）。[2]又改為
，overfitting（訓(xùn)練集好，驗(yàn)證集差）。我的理解在于
和
可能是很不同的正態(tài)分布，他們求和之后再做標(biāo)準(zhǔn)化，可能會(huì)有害處。[3]中進(jìn)一步做了如下調(diào)整，
，這樣將兩個(gè)不同的正態(tài)分布分別標(biāo)準(zhǔn)化再相加就合理多了。同時(shí)[3]中還有兩個(gè)tricks，第一，不再初始化為1而是初始化為比較小的數(shù)，如0.1。我估計(jì)這個(gè)可能和LSTM中大量的sigmoid和tanh有關(guān)（有興趣的同學(xué)可以自己分析看看）；第二，不同的時(shí)間步t各自統(tǒng)計(jì)自己的mean和std，這個(gè)可能對(duì)于之前overfitting的一個(gè)回應(yīng)，就是說工作[2]中overfitting的原因在于訓(xùn)練的時(shí)候用來做標(biāo)準(zhǔn)化的統(tǒng)計(jì)量（每層每個(gè)mini batch計(jì)算得到）和測(cè)試的過程中使用的統(tǒng)計(jì)量（使用訓(xùn)練中各層共享的、不斷地做moving avearge的統(tǒng)計(jì)量）顯著不同。
另外一個(gè)在RNN中做Normalization比較重要的工作是[4]。Layer Normalization與BN的機(jī)制似乎不太相同，這里不展開分析了。LN除了可以作用在RNN之外，也可以用于前向全連接的網(wǎng)絡(luò)，論文也也給出了比較試驗(yàn)，如下圖，
從右邊的圖可以看出太小的mini batch對(duì)于BN無論是在訓(xùn)練的過程和測(cè)試過程中使用訓(xùn)練過程統(tǒng)計(jì)的統(tǒng)計(jì)量都造成了危害。從左邊的圖則可以看出，由于LN是對(duì)每條樣本做標(biāo)準(zhǔn)化從而失去了上面討論的BN帶來的正則化效果。
參考文獻(xiàn)
[1] Sergey Ioffe and Christian Szegedy. Batch normalization: Accelerating deep network training by reducing internal covariate shift. ICML, 2015.
[2] Ce ?sar Laurent, Gabriel Pereyra, Phile ?mon Brakel, Ying Zhang, and Yoshua Bengio. Batch normalized recurrent neural networks. arXiv preprint arXiv:1510.01378, 2015.
[3] Tim Cooijmans, Nicolas Ballas, Ce ?sar Laurent, and Aaron Courville. Recurrent batch normalization. arXiv preprint arXiv:1603.09025, 2016.
[4] Ba, J. L., Kiros, J. R., and Hinton, G. E. (2016). Layer normalization. arXiv preprint arXiv:1607.06450.
END
本周四（17日）晚19:00-19:45，羅恒博士即將參與大牛直播間線上活動(dòng)，在“大牛部落”微信群中，為大家在線解答技術(shù)問題，并與大家一起展望Batch Normalization的未來。可申請(qǐng)加入“大牛部落”，參加線上直播。
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