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“The only simple truth is that there is nothing simple in this complex universe. Everything relates. Everything connects”
— Johnny Rich, The Human Script
機器學習的主要應用之一是對隨機過程建模。機器學習中一些隨機過程的例子如下:
泊松過程:用于處理等待時間以及隊列。
隨機漫步和布朗運動過程:用于交易算法。
馬爾可夫決策過程:常用于計算生物學和強化學習。
高斯過程:用于回歸和優(yōu)化問題(如,超參數(shù)調優(yōu)和自動機器學習)。
自回歸和移動平均過程:用于時間序列分析(如,ARIMA模型)。
在本文中，我將簡要地向你介紹這些隨機過程。
歷史背景
隨機過程是我們日常生活的一部分。隨機過程之所以如此特殊，是因為隨機過程依賴于模型的初始條件。在上個世紀，許多數(shù)學家，如龐加萊，洛倫茲和圖靈都被這個話題所吸引。
如今，這種行為被稱為確定性混沌，它與真正的隨機性有著截然不同的范圍界限。
由于愛德華·諾頓·洛倫茲的貢獻，混沌系統(tǒng)的研究在1963年取得了突破性進展。當時，洛倫茲正在研究如何改進天氣預報。洛倫茲在他的分析中注意到，即使是大氣中的微小擾動也能引起氣候變化。
洛倫茲用來描述這種狀態(tài)的一個著名的短語是:
“A butterfly flapping its wings in Brazil can produce a tornado in Texas”
(在巴西，一只蝴蝶扇動翅膀就能在德克薩斯州制造龍卷風 )— Edward Norton Lorenz
(愛德華·諾頓·洛倫茲)
這就是為什么今天的混沌理論有時被稱為“蝴蝶效應”。
一個簡單的混沌系統(tǒng)的例子是分形(如圖所示)。分形是在不同尺度上不斷重復的一種模式。由于分形的縮放方式，分形不同于其他類型的幾何圖形。
分形是遞歸驅動系統(tǒng)，能夠捕獲混沌行為。在現(xiàn)實生活中，分形的例子有:樹、河、云、貝殼等。
圖1:MC. Escher， Smaller and Smaller [1]
在藝術領域有很多自相似的圖形。毫無疑問， MC. Escher是最著名的藝術家之一，他的作品靈感來自數(shù)學。事實上，在他的畫中反復出現(xiàn)各種不可能的物體，如彭羅斯三角形和莫比烏斯帶。在"Smaller and Smaller"中，他也反復使用了自相似性(圖1)。除了蜥蜴的外環(huán)，畫中的內部圖案也是自相似性的。每重復一次，它就包含一個有一半尺度的復制圖案。
確定性和隨機性過程
有兩種主要的隨機過程:確定性和隨機性。
在確定性過程中，如果我們知道一系列事件的初始條件(起始點)，我們就可以預測該序列的下一步。相反，在隨機過程中，如果我們知道初始條件，我們不能完全確定接下來的步驟是什么。這是因為這個過程可能會以許多不同的方式演化。
在確定性過程中，所有后續(xù)步驟的概率都為1。另一方面，隨機性隨機過程的情況則不然。
任何完全隨機的東西對我們都沒有任何用處，除非我們能識別出其中的模式。在隨機過程中，每個單獨的事件都是隨機的，盡管可以識別出連接這些事件的隱藏模式。這樣，我們的隨機過程就被揭開了神秘的面紗，我們就能夠對未來的事件做出準確的預測。
為了用統(tǒng)計學的術語來描述隨機過程，我們可以給出以下定義:
觀測值:一次試驗的結果。
總體:所有可能的觀測值，可以記為一個試驗。
樣本: 從獨立試驗中收集的一組結果。
例如，拋一枚均勻硬幣是一個隨機過程，但由于大數(shù)定律，我們知道，如果進行大量的試驗，我們將得到大約相同數(shù)量的正面和反面。
大數(shù)定律指出:
“隨著樣本規(guī)模的增大，樣本的均值將更接近總體的均值或期望值。因此，當樣本容量趨于無窮時，樣本均值收斂于總體均值。重要的一點是樣本中的觀測必須是相互獨立的。”
--Jason Brownlee
隨機過程的例子有股票市場和醫(yī)學數(shù)據(jù)，如血壓和腦電圖分析。
泊松過程
泊松過程用于對一系列離散事件建模，在這些事件中，我們知道不同事件發(fā)生的平均時間，但我們不知道這些事件確切在何時發(fā)生。
如果一個隨機過程能夠滿足以下條件，則可以認為它屬于泊松過程:
事件彼此獨立(如果一個事件發(fā)生，并不會影響另一個事件發(fā)生的概率)。
兩個事件不能同時發(fā)生。
事件的平均發(fā)生比率是恒定的。
讓我們以停電為例。電力供應商可能會宣傳平均每10個月就會斷電一次，但我們不能準確地說出下一次斷電的時間。例如，如果發(fā)生了嚴重問題，可能會連續(xù)停電2-3天(如,讓公司需要對電源供應做一些調整)，以便在接下來的兩天繼續(xù)使用。
因此，對于這種類型的隨機過程，我們可以相當確定事件之間的平均時間，但它們是在隨機的間隔時間內發(fā)生的。
由泊松過程，我們可以得到一個泊松分布，它可以用來推導出不同事件發(fā)生之間的等待時間的概率，或者一個時間段內可能發(fā)生事件的數(shù)量。
泊松分布可以使用下面的公式來建模(圖2)，其中k表示一個時期內可能發(fā)生的事件的預期數(shù)量。
圖2:泊松分布公式[3]
一些可以使用泊松過程模擬的現(xiàn)象的例子是原子的放射性衰變和股票市場分析。
隨機漫步和布朗運動過程
隨機漫步是可以在隨機方向上移動的任意離散步的序列(長度總是相同)(圖3)。隨機漫步可以發(fā)生在任何維度空間中(如:1D，2D，nD)。
圖3:高維空間[4]中的隨機漫步
現(xiàn)在我將用一維空間(數(shù)軸)向您介紹隨機漫步，這里解釋的這些概念也適用于更高維度。
我們假設我們在一個公園里，我們看到一只狗在尋找食物。它目前在數(shù)軸上的位置為0，它向左或向右移動找到食物的概率相等(圖4)。
圖4:數(shù)軸[5]
現(xiàn)在，如果我們想知道在N步之后狗的位置是多少，我們可以再次利用大數(shù)定律。利用這個定律，我們會發(fā)現(xiàn)當N趨于無窮時，我們的狗可能會回到它的起點。無論如何，此時這種情況并沒有多大用處。
因此，我們可以嘗試使用均方根(RMS)作為距離度量(首先對所有值求平方，然后計算它們的平均值，最后對結果求平方根)。這樣，所有的負數(shù)都變成正數(shù)，平均值不再等于零。
在這個例子中，使用RMS我們會發(fā)現(xiàn)，如果我們的狗走了100步，它平均會從原點移動10步(√100 = 10)。
如前面所述，隨機漫步用于描述離散時間過程。相反，布朗運動可以用來描述連續(xù)時間的隨機漫步。
隱馬爾科夫模型
隱馬爾可夫模型都是關于認識序列信號的。它們在數(shù)據(jù)科學領域有大量應用，例如:
計算生物學（https://towardsdatascience.com/computational-biology-fca101e20412）。
寫作/語音識別。
自然語言處理(NLP)。
強化學習
HMMs是一種概率圖形模型，用于從一組可觀察狀態(tài)預測隱藏(未知)狀態(tài)序列。
這類模型遵循馬爾可夫過程假設:
“鑒于我們知道現(xiàn)在，所以未來是獨立于過去的"
因此，在處理隱馬爾可夫模型時，我們只需要知道我們的當前狀態(tài)，以便預測下一個狀態(tài)(我們不需要任何關于前一個狀態(tài)的信息)。
要使用HMMs進行預測，我們只需要計算隱藏狀態(tài)的聯(lián)合概率，然后選擇產(chǎn)生最高概率(最有可能發(fā)生)的序列。
為了計算聯(lián)合概率，我們需要以下三種信息:
初始狀態(tài)：任意一個隱藏狀態(tài)下開始序列的初始概率。
轉移概率：從一個隱藏狀態(tài)轉移到另一個隱藏狀態(tài)的概率。
發(fā)射概率：從隱藏狀態(tài)移動到觀測狀態(tài)的概率
舉個簡單的例子，假設我們正試圖根據(jù)一群人的穿著來預測明天的天氣是什么(圖5)。
在這種例子中，不同類型的天氣將成為我們的隱藏狀態(tài)。晴天，刮風和下雨)和穿的衣服類型將是我們可以觀察到的狀態(tài)(如,t恤，長褲和夾克)。初始狀態(tài)是這個序列的起點。轉換概率，表示的是從一種天氣轉換到另一種天氣的可能性。最后，發(fā)射概率是根據(jù)前一天的天氣，某人穿某件衣服的概率。
圖5:隱馬爾可夫模型示例[6]
使用隱馬爾可夫模型的一個主要問題是，隨著狀態(tài)數(shù)的增加，概率和可能狀態(tài)的數(shù)量呈指數(shù)增長。為了解決這個問題，可以使用維特比算法。
如果您對使用HMMs和生物學中的Viterbi算法的實際代碼示例感興趣，可以在我的Github代碼庫中找到它。
從機器學習的角度來看，觀察值組成了我們的訓練數(shù)據(jù)，隱藏狀態(tài)的數(shù)量組成了我們要調優(yōu)的超參數(shù)。
機器學習中HMMs最常見的應用之一是agent-based情景，如強化學習(圖6)。
圖6：強化學習[7]中的HMMs
高斯過程
高斯過程是一類完全依賴自協(xié)方差函數(shù)的平穩(wěn)零均值隨機過程。這類模型可用于回歸和分類任務。
高斯過程最大的優(yōu)點之一是，它們可以提供關于不確定性的估計，例如，給我們一個算法確定某個項是否屬于某個類的確定性估計。
為了處理嵌入一定程度上的不確定性的情況，通常使用概率分布。
一個離散概率分布的簡單例子是擲骰子。
想象一下，現(xiàn)在你的一個朋友挑戰(zhàn)你擲骰子，你擲了50個trows。在擲骰子公平的情況下，我們期望6個面中每個面出現(xiàn)的概率相同(各為1/6)。如圖7所示。
圖7:擲骰子公平的概率分布
無論如何，你玩得越多，你就越可以看到到骰子總是落在相同的面上。此時，您開始考慮骰子可能是不公平的，因此您改變了關于概率分布的最初信念(圖8)。
圖8:不公平骰子的概率分布
這個過程被稱為貝葉斯推理。
貝葉斯推理是我們在獲得新證據(jù)的基礎上更新自己對世界的認知的過程。
我們從一個先前的信念開始，一旦我們用全新的信息更新它，我們就構建了一個后驗信念。這種推理同樣適用于離散分布和連續(xù)分布。
因此，高斯過程允許我們描述概率分布，一旦我們收集到新的訓練數(shù)據(jù)，我們就可以使用貝葉斯法則(圖9)更新分布。
圖9:貝葉斯法則[8]
自回歸移動平均過程
自回歸移動平均(ARMA)過程是一類非常重要的分析時間序列的隨機過程。ARMA模型的特點是它們的自協(xié)方差函數(shù)只依賴于有限數(shù)量的未知參數(shù)(對于高斯過程是不可能的)。
縮略詞ARMA可以分為兩個主要部分:
自回歸=模型利用了預先定義的滯后觀測值與當前滯后觀測值之間的聯(lián)系。
移動平均=模型利用了殘差與觀測值之間的關系。
ARMA模型利用兩個主要參數(shù)(p, q)，分別為：
p = 滯后觀測次數(shù)。
q = 移動平均窗口的大小。
ARMA過程假設一個時間序列在一個常數(shù)均值附近均勻波動。如果我們試圖分析一個不遵循這種模式的時間序列，那么這個序列將需要被差分，直到分割后的序列具有平穩(wěn)性。
這可以通過使用一個ARIMA模型來實現(xiàn)，如果你有興趣了解更多，我寫了一篇關于使用ARIMA進行股票市場分析的文章。
謝謝閱讀！
參考文獻
[1] M C Escher, “Smaller and Smaller” — 1956.訪問: https://www.etsy.com/listing/288848445/m-c-escher-print-escher-art-smaller-and
[2] 機器學習中大數(shù)定律的簡要介紹。Machine Learning Mastery, Jason Brownlee. 訪問: https://machinelearningmastery.com/a-gentle-introduction-to-the-law-of-large-numbers-in-machine-learning/
[3] 正態(tài)分布，二項分布，泊松分布 , Make Me Analyst. 訪問: http://makemeanalyst.com/wp-content/uploads/2017/05/Poisson-Distribution-Formula.png
[4] 通用維基百科. Accessed at: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Random_walk_25000.gif
[5] 數(shù)軸是什么?Mathematics Monste. 訪問: https://www.mathematics-monster.com/lessons/number_line.html
[6] 機器學習算法: SD (σ)- 貝葉斯算法. Sagi Shaier, Medium. 訪問: https://towardsdatascience.com/ml-algorithms-one-sd-%CF%83-bayesian-algorithms-b59785da792a
[7] DeepMind的人工智能正在自學跑酷，結果非常令人驚訝。The Verge, James Vincent. 訪問: https://www.theverge.com/tldr/2017/7/10/15946542/deepmind-parkour-agent-reinforcement-learning
[8] 為數(shù)據(jù)科學專業(yè)人員寫的強大的貝葉斯定理介紹。KHYATI MAHENDRU, Analytics Vidhya. Accessed at: https://www.analyticsvidhya.com/blog/2019/06/introduction-powerful-bayes-theorem-data-science/
via https://towardsdatascience.com/stochastic-processes-analysis-f0a116999e4
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