從零推導支持向量機 (SVM)

雷鋒網 AI 科技評論按，本文作者張皓，目前為南京大學計算機系機器學習與數據挖掘所（LAMDA）碩士生，研究方向為計算機視覺和機器學習，特別是視覺識別和深度學習。

個人主頁：http://lamda.nju.edu.cn/zhangh/。該文為其給雷鋒網 AI 科技評論的獨家供稿，未經許可禁止轉載。

摘要

支持向量機 (SVM) 是一個非常經典且高效的分類模型。但是，支持向量機中涉及許多復雜的數學推導，并需要比較強的凸優化基礎，使得有些初學者雖下大量時間和精力研讀，但仍一頭霧水，最終對其望而卻步。本文旨在從零構建支持向量機，涵蓋從思想到形式化，再簡化，最后實現的完整過程，并展現其完整思想脈絡和所有公式推導細節。本文力圖做到邏輯清晰而刪繁就簡，避免引入不必要的概念、記號等。此外，本文并不需要讀者有凸優化的基礎，以減輕讀者的負擔。對于用到的優化技術，在文中均有介紹。

盡管現在深度學習十分流行，了解支持向量機的原理，對想法的形式化、簡化，及一步步使模型更一般化的過程，及其具體實現仍然有其研究價值。另一方面，支持向量機仍有其一席之地。相比深度神經網絡，支持向量機特別擅長于特征維數多于樣本數的情況，而小樣本學習至今仍是深度學習的一大難題。

1. 線性二分類模型

給定一組數據，其中，二分類任務的目標是希望從數據中學得一個假設函數 h: R → {?1,1}，使得 h(x_i) =y_i，即

用一個更簡潔的形式表示是

更進一步，線性二分類模型認為假設函數的形式是基于對特征 xi 的線性組合，即

定理 1. 線性二分類模型的目標是找到一組合適的參數 (w, b)，使得

即，線性二分類模型希望在特征空間找到一個劃分超平面，將屬于不同標記的樣本分開。

證明.

2. 線性支持向量機

線性支持向量機 (SVM) [4]也是一種線性二分類模型，也需要找到滿足定理 1 約束的劃分超平面，即 (w, b)。由于能將樣本分開的超平面可能有很多，SVM 進一步希望找到離各樣本都比較遠的劃分超平面。

當面對對樣本的隨機擾動時，離各樣本都比較遠的劃分超平面對擾動的容忍能力比較強，即不容易因為樣 本的隨機擾動使樣本穿越到劃分超平面的另外一側而產生分類錯誤。因此，這樣的劃分超平面對樣本比較穩健，不容易過擬合。另一方面，離各樣本都比較遠的劃分超平面不僅可以把正負樣本分開，還可以以比較大的確信度將所有樣本分開，包括難分的樣本，即離劃分超平面近的樣本。

2.1 間隔

在支持向量機中，我們用間隔 (margin) 刻畫劃分超平面與樣本之間的距離。在引入間隔之前，我們需要 先知道如何計算空間中點到平面的距離。

定義 1 (間隔 γ ). 間隔表示距離劃分超平面最近的樣本到劃分超平面距離的兩倍，即

也就是說，間隔表示劃分超平面到屬于不同標記的最近樣本的距離之和。

定理 3. 線性支持向量機的目標是找到一組合適的參數(w, b)，使得

即，線性支持向量機希望在特征空間找到一個劃分超平面，將屬于不同標記的樣本分開，并且該劃分超平面距離各樣本最遠。

證明. 帶入間隔定義即得。

2.2 線性支持向量機基本型

定理 3 描述的優化問題十分復雜，難以處理。為了能在現實中應用，我們希望能對其做一些簡化，使其變 為可以求解的、經典的凸二次規劃 (QP) 問題。

定義 2 (凸二次規劃). 凸二次規劃的優化問題是指目標函數是凸二次函數，約束是線性約束的一類優化問題。

由于對 (w, b) 的放縮不影響解，為了簡化優化問題，我們約束 (w, b) 使得

推論 6. 線性支持向量機基本型中描述的優化問題屬于二次規劃問題，包括 d + 1 個優化變量，m 項約束。

證明. 令

代入公式 10 即得。

3. 對偶問題

現在，我們可以通過調用現成的凸二次規劃軟件包來求解定理 5 描述的優化問題。不過，通過借助拉格朗 日 (Lagrange) 函數和對偶 (dual) 問題，我們可以將問題更加簡化。

3.1 拉格朗日函數與對偶形式

構造拉格朗日函數是求解帶約束優化問題的重要方法。

證明.

推論 8 (KKT 條件). 公式 21 描述的優化問題在最優值處必須滿足如下條件。

證明. 由引理 7 可知，u 必須滿足約束，即主問題可行。對偶問題可行是公式 21 描述的優化問題的約束項。α_ig_i(u) = 0 是在主問題和對偶問題都可行的條件下的最大值。

定義 4 (對偶問題). 定義公式 19 描述的優化問題的對偶問題為

引理 10 (Slater 條件). 當主問題為凸優化問題，即 f 和 g_i 為凸函數，h_j 為仿射函數，且可行域中至少有一點使不等式約束嚴格成立時，對偶問題等價于原問題。

證明. 此證明已超出本文范圍，感興趣的讀者可參考 [2]。

3.2 線性支持向量機對偶型

線性支持向量機的拉格朗日函數為

證明. 因為公式 26 內層對 (w,b) 的優化屬于無約束優化問題，我們可以通過令偏導等于零的方法得到 (w,b)的最優值。

將其代入公式 26，消去 (w, b)，即得。

推論 13. 線性支持向量機對偶型中描述的優化問題屬于二次規劃問題，包括 m 個優化變量，m + 2 項約束。

證明. 令

代入公式 10 即得。其中，e_i 是第 i 位置元素為 1，其余位置元素為 0 的單位向量。我們需要通過兩個不等式約束和來得到一個等式約束。

3.3 支持向量

定理 14 (線性支持向量機的 KKT 條件). 線性支持向量機的 KKT 條件如下。

代入引理 8 即得。

定義 5 (支持向量). 對偶變量 α_i > 0 對應的樣本。

引理 15. 線性支持向量機中，支持向量是距離劃分超平面最近的樣本，落在最大間隔邊界上。

定理 16. 支持向量機的參數 (w, b) 僅由支持向量決定，與其他樣本無關。

證明. 由于對偶變量 α_i > 0 對應的樣本是支持向量，

其中 SV 代表所有支持向量的集合，b 可以由互補松弛算出。對于某一支持向量 x_s 及其標記 y_s，由于

實踐中，為了得到對 b 更穩健的估計，通常使用對所有支持向量求解得到 b 的平均值。

推論 17. 線性支持向量機的假設函數可表示為

證明. 代入公式 35 即得。

4. 核函數

至此，我們都是假設訓練樣本是線性可分的。即，存在一個劃分超平面能將屬于不同標記的訓練樣本分開。但在很多任務中，這樣的劃分超平面是不存在的。支持向量機通過核技巧 (kernel trick) 來解決樣本不是線性可分的情況 [1]。

4.1 非線性可分問題

既然在原始的特征空間不是線性可分的，支持向量機希望通過一個映射，使得數據在新的空間是線性可分的。

引理 18. 當 d 有限時，一定存在，使得樣本在空間中線性可分.

證明. 此證明已超出本文范圍，感興趣的讀者可參考計算學習理論中打散 (shatter) 的相應部分 [16]。

令 φ(x) 代表將樣本 x 映射到中的特征向量，參數 w 的維數也要相應變為維，則支持向量機的基本型和對偶型相應變為：

其中，基本型對應于+ 1 個優化變量，m 項約束的二次規劃問題；對偶型對應于 m 個優化變量，m + 2 項約束的二次規劃問題。

4.2 核技巧

注意到，在支持向量機的對偶型中，被映射到高維的特征向量總是以成對內積的形式存在，即

如果先計算特征在空間的映射，再計算內積，復雜度是。當特征被映射到非常高維的空間，甚至是無窮維空間時，這將會是沉重的存儲和計算負擔。

核技巧旨在將特征映射和內積這兩步運算壓縮為一步, 并且使復雜度由降為。即，核技巧希望構造一個核函數 κ(x_i,x_j)，使得，并且 κ(xi,xj) 的計算復雜度是。

4.3 核函數選擇

通過向高維空間映射及核技巧，我們可以高效地解決樣本非線性可分問題。但面對一個現實任務，我們很 難知道應該具體向什么樣的高維空間映射，即應該選什么樣的核函數，而核函數選擇的適合與否直接決定整體的性能。

表 1 列出了幾種常用的核函數。通常，當特征維數 d 超過樣本數 m 時 (文本分類問題通常是這種情況)，使用線性核；當特征維數 d 比較小，樣本數 m 中等時，使用 RBF 核；當特征維數 d 比較小，樣本數 m 特別大時，支持向量機性能通常不如深度神經網絡。

除此之外，用戶還可以根據需要自定義核函數，但需要滿足 Mercer 條件 [5]。

反之亦然。

新的核函數還可以通過現有核函數的組合得到，使用多個核函數的凸組合是多核學習 [9] 的研究內容。

4.4 核方法

上述核技巧不僅使用于支持向量機，還適用于一大類問題。

即 Φα 比 w 有更小的目標函數值，說明 w 不是最優解，與假設矛盾。因此，最優解必定是樣本的線性組合。

此外，原版表示定理適用于任意單調遞增正則項 Ω(w)。此證明已超出本文范圍，感興趣的讀者可參考 [13]。

表示定理對損失函數形式沒有限制，這意味著對許多優化問題，最優解都可以寫成樣本的線性組合。更進 一步，將可以寫成核函數的線性組合

通過核函數，我們可以將線性模型擴展成非線性模型。這啟發了一系列基于核函數的學習方法，統稱為核方法 [8]。

5. 軟間隔

不管直接在原特征空間，還是在映射的高維空間，我們都假設樣本是線性可分的。雖然理論上我們總能找 到一個高維映射使數據線性可分，但在實際任務中，尋找到這樣一個合適的核函數通常很難。此外，由于數據中通常有噪聲存在，一味追求數據線性可分可能會使模型陷入過擬合的泥沼。因此，我們放寬對樣本的要求，即允許有少量樣本分類錯誤。

5.1 軟間隔支持向量機基本型

我們希望在優化間隔的同時，允許分類錯誤的樣本出現，但這類樣本應盡可能少：

其中，是指示函數，C 是個可調節參數，用于權衡優化間隔和少量分類錯誤樣本這兩個目標。但是，指示函數不連續，更不是凸函數，使得優化問題不再是二次規劃問題。所以我們需要對其進行簡化。

公式 60 難以實際應用的原因在于指示函數只有兩個離散取值 0/1，對應樣本分類正確/錯誤。為了能使優 化問題繼續保持為二次規劃問題，我們需要引入一個取值為連續值的變量，刻畫樣本滿足約束的程度。我們引入松弛變量 (slack variable) ξ_i，用于度量樣本違背約束的程度。當樣本違背約束的程度越大，松弛變量值越大。即，

其中，C 是個可調節參數，用于權衡優化間隔和少量樣本違背大間隔約束這兩個目標。當 C 比較大時，我們希望更多的樣本滿足大間隔約束；當 C 比較小時，我們允許有一些樣本不滿足大間隔約束。

5.2 軟間隔支持向量機對偶型

定理 25 (軟間隔支持向量機對偶型). 軟間隔支持向量機的對偶問題等價于找到一組合適的 α，使得

因為內層對 (w, b, ξ) 的優化屬于無約束優化問題，我們可以通過令偏導等于零的方法得到 (w, b, ξ) 的最優值。

推論 26. 軟間隔支持向量機對偶型中描述的優化問題屬于二次規劃問題，包括 m 個優化變量，2m+2 項約束。

5.3 軟間隔支持向量機的支持向量

定理 27 (軟間隔支持向量機的 KKT 條件). 軟間隔支持向量機的 KKT 條件如下.

引理 28. 軟間隔支持向量機中，支持向量落在最大間隔邊界，內部，或被錯誤分類的樣本。

定理 29. 支持向量機的參數 (w, b) 僅由支持向量決定，與其他樣本無關。

證明. 和線性支持向量機證明方式相同。

5.4 鉸鏈損失

引理 30. 公式 61 等價為

其中，第一項稱為經驗風險，度量了模型對訓練數據的擬合程度；第二項稱為結構風險，也稱為正則化項，度量了模型自身的復雜度。正則化項削減了假設空間，從而降低過擬合風險。λ 是個可調節的超參數，用于權衡經驗風險和結構風險。

6. 優化方法

6.1 SMO 

如果直接用經典的二次規劃軟件包求解支持向量機對偶型，由于的存儲開銷是，當訓練樣本很多時，這將是一個很大的存儲和計算開銷。序列最小化 (SMO) [10]是一個利用支持 向量機自身特性高效的優化算法。SMO 的基本思路是坐標下降。

定義 7 (坐標下降). 通過循環使用不同坐標方向，每次固定其他元素，只沿一個坐標方向進行優化，以達到目標函數的局部最小，見算法 1.

我們希望在支持向量機中的對偶型中，每次固定除 α_i 外的其他變量，之后求在 α_i 方向上的極值。但由于 約束，當其他變量固定時，α_i 也隨著確定。這樣，我們無法在不違背約束的前提下對 α_i 進行優化。因此，SMO 每步同時選擇兩個變量 α_i 和 α_j 進行優化，并固定其他參數，以保證不違背約束。

定理 32 (SMO 每步的優化目標). SMO 每步的優化目標為

推論 33. SMO 每步的優化目標可等價為對 α_i 的單變量二次規劃問題。

證明. 由于，我們可以將其代入 SMO 每步的優化目標，以消去變量 α_j。此時，優化目標函數是對于 α_i 的二次函數，約束是一個取值區間 L ≤ α_i ≤ H。之后根據目標函數頂點與區間 [L, H] 的位置關系，可以得到 α_i 的最優值。理論上講，每步優化時 α_i 和 α_j 可以任意選擇，但實踐中通常取 α_i 為違背 KKT 條件最大的變量，而 α_j取對應樣本與 α_i 對應樣本之間間隔最大的變量。對 SMO 算法收斂性的測試可以用過檢測是否滿足 KKT 條件得到。

6.2 Pegasos

我們也可以直接在原問題對支持向量機進行優化，尤其是使用線性核函數時，我們有很高效的優化算法，如 Pegasos [14]。Pegasos 使用基于梯度的方法在線性支持向量機基本型

進行優化，見算法 2。

6.3 近似算法

當使用非線性核函數下的支持向量機時，由于核矩陣，所以時間復雜度一定是，因此，有許多學者致力于研究一些快速的近似算法。例如，CVM [15]基于近似最小包圍球算法，Nystr?m 方法[18]通過從 K 采樣出一些列來得到 K 的低秩近似，隨機傅里葉特征[12]構造了向低維空間的隨機映射。本章介紹了許多優化算法，實際上現在已有許多開源軟件包對這些算法有很好的實現，目前比較著名的有 LibLinear[7] 和 LibSVM[3]，分別適用于線性和非線性核函數。

7. 支持向量機的其他變體

ProbSVM. 對數幾率回歸可以估計出樣本屬于正類的概率，而支持向量機只能判斷樣本屬于正類或負類，無法得到概率。ProbSVM[11]先訓練一個支持向量機，得到參數 (w, b)。再令，將當做新的訓練數據訓練一個對數幾率回歸模型，得到參數。因此，ProbSVM 的假設函數為

對數幾率回歸模型可以認為是對訓練得到的支持向量機的微調，包括尺度 (對應 θ₁) 和平移 (對應 θ₀)。通常 θ₁ > 0，θ₀ ≈ 0。

多分類支持向量機. 支持向量機也可以擴展到多分類問題中. 對于 K 分類問題，多分類支持向量機 [17] 有 K 組參數，并希望模型對于屬于正確標記的結果以 1 的間隔高于其他類的結 果，形式化如下

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